Glidande Medelvärde Cutoff Frekvens

Jag behöver designa ett glidande medelfilter som har en avbrottsfrekvens på 7 8 Hz Jag har använt glidande medelfilter innan, men så långt jag vet är den enda parametern som kan matas in det antal poäng som ska matas in i genomsnitt Hur kan det här relatera till en avstängningsfrekvens. Den inverse av 7 8 Hz är.130 ms och jag arbetar med data som samplas vid 1000 Hz. Detta innebär att jag borde använda en glidande medelfilterfönsterstorlek av 130 prov eller finns det något annat jag saknar här. Skakad 18 juli 13 på 9 52. Det glidande medelfiltret är filtret som används i tidsdomänen för att avlägsna bruset och även för utjämning men om du använder Samma glidande medelfilter i frekvensdomänen för frekvensavskiljning då prestanda blir värst, så använd då frekvensdomänfilterfilen användare19373 feb 3 16 vid 5 53. Det glidande medelfiltret som ibland är känt som ett boxcar-filter har ett rektangulärt impulsrespons. , Sagt different. Remembering att en diskret - Tidssystemets frekvensrespons är lika med den diskreta tiden Fourier-omvandlingen av dess impulsrespons, kan vi beräkna det enligt följande. Vad vi mest är intresserade av för ditt fall är filtrets storlekssvar, H omega Använda ett par enkla manipuleringar , Kan vi få det i en lättare att förstå form. Det kan inte se lättare att förstå. Men på grund av Eulers identitet återkallar det. Därför kan vi skriva ovanstående som. Som jag sagt tidigare, vad är du egentligen? oroa sig för frekvensreaktorns storlek. Så, vi kan ta storleken på ovanstående för att förenkla det ytterligare. Notera Vi kan släppa de exponentiella termerna eftersom de inte påverkar storleken på resultatet e 1 för alla värden av Omega Eftersom xy xy för några två ändliga komplexa tal x och y kan vi dra slutsatsen att närvaron av de exponentiella termerna inte påverkar det övergripande magnitudsvaret istället, påverkar de systemets fasrespons. Den resulterande funktionen inom storleksfästena är en form av en Dirichlet-kärna Det kallas ibland en periodisk sinc-funktion, eftersom den liknar sinc-funktionen något i utseende, men är periodisk istället. Ännu, eftersom definitionen av cutoff-frekvensen är något underspecified -3 dB point -6 dB point Första sidelobe null kan du använda ovanstående ekvation för att lösa vad du behöver Specifikt kan du göra följande. Ange H omega till det värde som motsvarar det filterrespons du vill ha vid cutoff-frekvensen. Omega lika med cutoff-frekvensen För att kartlägga en kontinuerlig tidsfrekvens till diskretidsdomänen, kom ihåg att omega 2 pi frac, där fs är din samplingsfrekvens. Ange värdet på N som ger dig det bästa avtalet mellan ekvationens vänstra och högra sida Bör vara längden på ditt glidande medelvärde. Om N är längden på det glidande medlet, är en approximativ avstängningsfrekvens F som är giltig för N 2 i normaliserad frekvens F f fs. Den inverse av detta är. Denna formel är asymptotiskt kor rekt för stor N och har cirka 2 fel för N 2 och mindre än 0 5 för N 4.PS Efter två år, här äntligen, vad var tillvägagångssättet följt? Resultatet var baserat på approximation av MA-amplitudspektrumet runt f 0 som en parabola 2: a ordning Serie enligt. MA Omega ca 1 frac - frac Omega 2. som kan göras mer exakt nära nollkorsningen av MA Omega - frac genom att multiplicera Omega med en koefficient. Uppnå MA Omega ca 1 0 907523 frac - frac Omega 2.Lösningen av MA Omega - frac 0 ger resultaten ovan, där 2 pi F Omega. All av ovanstående avser 3 dB avskurningsfrekvens, föremålet för detta inlägg. Ibland är det emellertid intressant att erhålla en dämpningsprofil i stoppbandet vilket är jämförbart med det för en 1: a-ordning IIR Low Pass Filter-enpolig LPF med en given -3dB-avskurningsfrekvens så kallas en LPF även läckande integrator, som har en pol inte precis vid likström men nära den. Faktum är att både MA och 1: a Order IIR LPF har -20dB årtionde sluttning i stoppbandet behöver man en större N än den som används i figuren, N 32, för att se detta, men medan MA har spektral nulls vid Fk N och ett 1 f evelope, IIR filteret har bara en 1 f-profil. Om man vill få ett MA-filter med liknande brusfiltreringsfunktioner som detta IR-filter och matchar 3DB-avklippsfrekvenserna för att vara densamma. Vid jämförelse av de två spektra skulle han inse att stoppbandets rippel hos MA-filtret hamnar.3dB under det för IIR-filtret. För att få samma Stopband-krusning, dvs samma ljuddämpning som IIR-filtret kan formlerna ändras enligt följande. Jag hittade Mathematica-skriptet där jag beräknade avklippningen för flera filter, inklusive MA-en. Resultatet var baserat på approximering av MA-spektret runt f 0 som parabola enligt MA Omega Sin Omega N 2 Sin Omega 2 Omega 2 pi F MA F ca N 1 6 F 2 NN 3 pi 2 och härleda korsningen med 1 kvm därifrån Massimo 17 jan 16 kl 2 08. Frekvensresponsen för det löpande medelfiltret. Frekvensresponsen hos ett LTI-system är DTFS för impulsresponsen. Impulssvaret hos ett L-provrörande medelvärde är. Eftersom det rörliga medelfiltret är FIR, minskar frekvensresponsen till den ändliga Summa. Vi kan använda den mycket användbara identiteten Skriv frekvensresponsen som. som vi har låt aej N 0 och ML 1 Vi kan vara intresserade av storleken på den här funktionen för att bestämma vilka frekvenser som kommer igenom filtret obetydliga och vilka dämpas. Nedan är en plot av storleken på Denna funktion för L 4 röd, 8 grön och 16 blå Den horisontella axeln sträcker sig från noll till radianer per prov. Notera att frekvensresponsen i alla tre fall har en lowpass-karakteristik En konstant komponent nollfrekvens i inmatningen passerar genom filtret Obestämd Vissa högre frekvenser, t. ex. 2, elimineras helt av filtret. Om avsiktet var att designa ett lågpassfilter, har vi inte gjort det bra. Några av de högre frekvenserna dämpas endast med en faktor på cirka 1 10 för 16 punkters glidande medelvärde eller 1 3 för fyrapunkts glidande medelvärde Vi kan göra mycket bättre än det. Ovanstående plot skapades av följande Matlab code. omega 0 pi 400 pi H4 1 4 1-exp - i omega 4 1- exp - io Mega H8 1 8 1-exp - i omega 8 1-exp - i omega H16 1 16 1-exp - i omega 16 1-exp - i omega tomt omega, abs H4 abs H8 abs H16 axel 0, pi, 0, 1.Copyright 2000- - University of California, Berkeley. Och jag använder det andra svaret i min algoritm för att beräkna 3DB-skärningsfrekvensen för mitt filter, vilket fungerar bra, eftersom min filterlängd är vanligtvis över 300 verifierade jag det med stegresponsen . Men jag skulle vilja ha en källa eller en avledning för denna formel. Jag försökte för hand med taylor-serien stoppa efter andra och tredje termen jag kommer nära men inte exakt till formeln och mapple ger mig en giltig men extremt komplicerad result. Hope du kan hjälpa. och du behöver inte approximera någon summering i det här med en integrerad men du behöver approximera sin 2 med ett begränsat antal villkor i Maclaurin serien. Vad du behöver är en exakt lösning på den här 2 sin 2 omega0 N 2 N 2 sin 2 omega0 2 och svaret jag har är, så mycket som jag kan säga, den närmaste approximationen som gör det minsta antagna jons robert bristow-johnson 13 jan 16 vid 5 46. Tänk på ett nollfasigt rörligt medelvärde av längd N. Evenlängdsfilter som arbetar på diskreta sekvenser med heltalstidsindex kan inte vara nollfas Vi har kringgått detta genom att aktivera utgångstidsindex att alltid ha en bråkdel av frac, i händelse av N jämnt Som ett verkligt exempel, om ingången samplades varje midnatt, beräknas nollfasets rörliga medelvärde av jämn längd för varje middag. Denna ovanliga indexering ger bekvämt Samma nollfasform av frekvenssvar FN omega för både N udda och N jämnt. Tyvärr har frekvensresponsen ingen symbolisk lösning för 3 dB cutoff-frekvensomvandlaren. Sådant är det strängt att tala om -3 01 dB, men jag Tror att det är vad folk menar när de säger -3 dB, för annars är det bara ett godtyckligt tal En approximativ frekvensresponshatt N omega använder en integrerad del i stället för summan. De största loberna av den verkliga summan och den approximativa integralfrekvensen resp onses konvergerar i stort N. Vi kan bevisa konvergensen genom att införa funktioner GN chi FN omega och hatt N chi hat N omega med argumentet normaliserat så att omega frac, vilket ger den första noll av båda funktionerna till chi 1. GN chi är känt som Det N-periodiska bandbegränsade impulståget. Den maximala gränsen N och funktionshatten N chi är båda textfunktionen. Tyvärr har -3 dB cutoff-frekvensen ingen symbolisk lösning i approximationshatten N omega, antingen för olika N, endast approximationen skiljer sig från N 1 approximationen genom en kartläggning omega rightarrow omega N, så det räcker att lösa den ungefärliga 3 dB cutoff frekvenshatten omegak N numeriskt för N 1.givande approximativ cutoff-frekvens för godtycklig N. Det verkar vara en annan, enklare Approximation än Massimo s För din N 300 borde det inte vara något problem att använda det Massimo s och detta svar s konstanter är relaterade till. Jag tittade lite längre och fann att Massimo approximerar FN omega med hatt M omega, choosin g M så att gränserna för de andra derivaten av frekvensresponsen och approximationen matchar vid omega 0. Detta förbättrar approximationen vid liten omega som inkluderar -3 dB cutoffpunkten, särskilt vid liten N. Massimo s approximation överskattar alltid cutoff-frekvensen se felutjämningen, lämnar rummet för att förbättra det genom att ändra konstanten 1 Felet är det största för N 2 Om dess fel är begränsat lika med det näst störst felet vid N 3 får vi en ännu bättre men lika billig approximation. Denna och andra tweaks av konstanten, som Matt s konstant 0 863031932778066 fungerar överraskande bra för stor N se feljämförelsen För stor N faller felet med en faktor 1000 för varje ökning av N med en faktor 10 Förklaringen för dessa saker Är att den sanna cutoff-frekvensen som funktion av N har en Laurent-serie. Och approximationen och dess Laurent-serien är sådana att a1 a 2 78311475650302030063992 a3 ca-frac. If den ungefärliga m Naken i N-termen gjordes exakt, bör approximationsfelet minska med en faktor 10 5 för en ökning av stor N med en faktor av 10 koefficienterna ak av Laurent-serien fx summa frac av en funktion fx som x rightarrow infty kan hittas iterativt. När vi inte har fx i symbolisk form men kan lösa det numeriskt till någon precision för mycket stor x, kan vi göra ekvivalent av ovanstående procedur numeriskt. Följande Python-skript som använder SymPy och mpmath kommer att beräkna Ett givet tal här 10 av de första koefficienterna ak i den önskade precisionen för Laurent-serien av den verkliga cutoff-frekvensen. På min dator går programmet i ca 7 minuter. Det skriver ut följande, vilket visar att Laurent-serien endast består av udda negativa krafter . Dessa siffror, visade till 24 decimaler, är inte från en approximation i den meningen att Laurent-serien är unik. Det finns ingen annan Laurent-serie som är lika med omegak N. Används endast av a1 och a3, en enkel två-termen avkortad Laurent-serien approximation kan konstrueras. Och med c-frac approximationen. Men har 1 N 5 felförfall i stort N, se fel jämförelsekolumner h respektive I En längre stympad Laurent-serie med fler villkor från skriptets sönderfall sjunker ännu snabbare , 1 N för 5-tiden approximationen i kolumn j i feljämförelsen. up pilen från mig, Olli. but av någon anledning tror jag att svaret är mycket enklare, normalt tycker jag om att utforma acausal symmetriska FIR-filter, eftersom de är noll fas, men vanligtvis begränsar jag mig själv till ett udda antal icke-nollkranar för att göra det mer generellt, jag kan hålla fast vid det kausala FIR-glidande medlet. Det är sant att antalet kranar är N. a tillämpa mathcal-transform och den geometriska summeringen Formula. substituting z leftarrow e för att få DTFT. normalt vi kallar det som multiplicerar X z överföringsfunktionen. och den sak som multiplicerar X e, frekvensresponsen. E-faktorn betyder en linjärfas, konstant fördröjning av frac-prover det förändrar inte vinsten . Frac-faktorn är förstärkningsfaktorn -3 dB-frekvensen, omegac, menar vi normalt -3 0103 dB-frekvensen, eftersom det motsvarar halvfrekvensfrekvensen är sådan att. 2 sin 2 omegac N 2 N 2 sin 2 omegac 2.so med tanke på antalet kranar N, måste du lösa omomgång som kanske inte är så lätt att göra för en sluten form, men du kan gräva ut din räknare och plugga och Chug tills du får ett svar som har tillräcklig precision eller du kan få MATLAB att göra det. En anständig approximation för omegac kan hämtas för stor N genom att använda en trig identitet en som jag brukar använda när jag fiddlar med den bilinära transformen och de tre första Villkor för Maclaurin-serien för cos. if du kopplar in den approximationen för sin 2 i föregående ekvation och löser hoppa över en lotta steg eftersom jag är för lat för LaTeX den ut. Okej, hur bra jämför det med dina resultat. en bättre med en annan term för approximationen av synd 2, är genomförbar, kräver endast en kvadratisk lösning för omega0 2 approximationen att använda att hålla de första fyra termen av cos expansion är. Tryck den approximationen och lösa för omegac 2. den mest konsekventa Svara jag får is. with det alternativ som det ser ut Som. och med alternativet ser det ut som. Det är mycket närmare förstegångsreglerna som jag gjorde ovanför så jag antar att jag skulle ta alternativet. Även om jag inte kan säga analytiskt varför alternativet bör avvisas, jag Antar att mitt mest korrekta svar skulle vara. Vilket har gränsen för stor N, som visas ovan. En annan har ett bättre sätt att titta på en bra ungefärlig slutenformlösning till detta. last tweek på detta innan du går i pension om approximationen sin 2 theta ca theta 2 left 1 - frac theta 2 frac theta 4 rätt egentligen borde vara bra för alla 0 le theta le frac så för att få det att hända och för att göra beteendet fortsätter att vara riktigt bra på theta ll 1, bör vi fudge den sista Koefficient, frac, att vara frac så att approximationen är bra för synden 2 vänster frac höger ökar inte komplexiteten, men kan göra ett bättre svar Robert Bristow-Johnson Jan 13 16 på 6 27. Frac är faktiskt en bandbegränsad Impulståg så att det approximerar det med en textfunktion som i mitt svar är exa ct inom precisionen av 2 78311475650302030063992 i gränsen till stor N där din omega0 frac ger ca 88 gånger den sanna cutoffen och din omega0 sqrt rätt ger ungefär 1 035 gånger den sanna cutoff jag tror om du vill göra en bättre approximation du Bör inkludera den långa konstanten Olli Niemitalo 13 jan 16 på 8 46.Robert måste du använda - tecken i din kvadratiska ekvationsformel eftersom det ger lösningen där Taylorserien fortfarande är ungefär ungefär den ursprungliga funktionen Den andra lösningen är endast Giltigt för Taylor-polynomet men inte alls för den ursprungliga funktionen, för att för det större värdet, kommer Taylor-polynomet inte ens nära den ursprungliga funktionen. För en Taylor-expansion runt x0 0 måste du normalt välja den minsta lösningen i Magnitude, för det är den där approximationen fungerar bäst Matt L 13 jan 16 vid 14 23. Låt s jämföra de faktiska numeriska fel för olika approximationer av cutoff freque ncy Felet som anges i tabellen beräknas genom att subtrahera den sanna numeriskt löst -3 dB cutoff-frekvensomvandlingen från approximationen. Noteringar Tillnärmen e tillåter inte N 2 Några av felen anges som 0 men det betyder bara att deras storlek är Mindre än ungefär 1E-17 Det och andra möjliga felaktigheter är från användningen av dubbel-precision flytpunktspunkt aritmetik vid beräkning av approximationen och felet. Får att redigera lägg till ytterligare en approximation. OK, det här är kul jag kommer att lägga till min egen Tankar och approximationer, vars första visar sig vara identisk med den som Massimo gav i det här svaret och den som Olli i den här tråden härstammar innehåller jag det fortfarande här, eftersom dess avledning är annorlunda. Då kommer jag att visa en bättre approximation som har ett maximalt relativt fel på 0 002 för N 2, i vilket fall har vi givetvis en analytisk lösning för exakt avsnittsfrekvens omegac pi 2 och för vilket det relativa felet är mindre än 1 2 cdot 10 för N ge 10. Det Är välkänt och visades av Olli och Robert i deras svar att den verkliga värderade amplitudfunktionen hos ett längd N glidande medelfilter ges av. Den 3 dB cut-off-frekvensomriktningen uppfyller. Så vitt jag vet finns det ingen rimligt enkel analytisk lösning till ekv 2 Nyckeln till de approximationer som presenteras här är - inte överraskande - en Taylors approximation Skillnaden mellan Taylorserien som används i Robert s svar är att jag inte separat approximerar sinusfunktionerna eller deras kvadrerade värden som i Robert s svarar, men jag approximerar direkt den fullständiga amplitudfunktionen som ges i 1 Approximating sin N omega 2 eller dess kvadrerade värde kommer att resultera i större fel än när den fullständiga funktionen approximeras, eftersom argumentet N omega 2 aldrig närmar sig noll, även för stor Värdena på N Omnämner endast nämnaren synd omega 2 eller dess kvadrerade värde är OK, eftersom dess argument omega omegac närmar sig noll för stor N I vilket fall som helst kommer jag inte att använda någon av de två ca Mationer, men jag kommer att använda Taylor-serien av HN omega För enklare notering ska jag använda x omega 2 och FN x HN omega Taylor-serien av FN x runt x0 0 ges av. För stora värden på N är denna approximation legitim för Avsnittsfrekvensomvandlingen tenderar till små värden. För den första approximationen använder jag endast de första två termerna i 3.Solving 4 ger en första approximativ lösning. Problemet med denna lösning är att den är partisk, vilket innebär att dess fel inte t konvergerar till noll för stor N Men det visar sig att med en enkel skalning av 5 kan denna förspända tas bort För noll bias kräver vi. där jag använde notationen omega N för att betona sitt beroende av N Lösning 6 med det allmänna uttrycket. Ledar oss till ekvationen. Som måste lösas numeriskt för den nu kända lösningen. Approximationen 7 med en given av 9 är identisk med massimo s-formel som du måste dela med 2 pi för att få sin magiska konstant S är också samma som den som Olli har fått på ett annat sätt i denna tråd ser vi att en Taylor approximation gav oss den korrekta formen av ekvationen, men konstanten måste bestämas av en gränsprocess för att få en formel med noll bias. För de flesta praktiska ändamål är denna formel tillräckligt exakt med en Maximalt relativ fel på 6 9 cdot 10 för N ge 10 Med alla termer i approximationen 3 kommer vi att ge oss en ännu bättre approximation Processen är exakt densamma som innan vi satte Taylor approximationen av FN x lika med 1 sqrt och lösa för xc det finns bara jämna maktförhållanden, så vi behöver bara lösa en kvadratisk ekvation. Detta ger oss följande formel. Notera det för de fyra lösningarna i kvartslikningen, vi måste välja de mindre av de två positiva, eftersom det s värdet där Taylorserien nära approximerar FN x Den andra positiva lösningen är en artefakt i ett område där Taylorserien avviker från FN x. Närbild 10 har samma lilla problem som den första versionen av föregående bild oximering ges av 5 genom att den har en liten bias Denna bias kan avlägsnas på exakt samma sätt som tidigare med tanke på gränsen 6, den här gången med omega N Min slutliga approximation baserad på 10 men med noll bias ges av där b kan också erhållas genom att lösa en ekvation som liknar 8 Det kan faktiskt skrivas i form av en given av 9. b frac sqrt -1 0 997314251642175 tag Jag beräknade exakta värdena för omegac numeriskt för N inom intervallet 2.100, så jag kunde beräkna det relativa felet. Det gör det möjligt att jämföra olika approximationer omega. Jag ska bara diskutera approximationerna med noll bias omega givet av 7 med en given av 9 och omega givet av 11 och 10, med b som ges av 12 Figuren nedan visar relativa fel som definieras av 13 som en funktion av N Den röda kurvan är det relativa felet av approximationen 7 och den gröna kurvan är approximationsfelet 11 Båda approximationen har noll bias de konvergerar till exakta värden för stor N men den gröna kurva konvergerar si betydligt snabbare. De noll-biasformler som visas ovan är anständiga approximationer till de faktiska avsnittsfrekvenserna, men de bättre formlerna 10,11,12 är väldigt obehagliga. Olli hade den stora ideen att tweaka nämnaren konstant i den enkla formeln 7 As länge då vi använder det optimala värdet av en given med 9 kan vi ändra nämnaren konstant utan att förlora noll-biasegenskapen. Således får vi en ny formel. Med en konstant c för att bli optimerad. Om jag förstod rätt, baserade Olli sin optimering av c på felvärdet för N 2 Men jag tror att värdet N 2 inte är mycket relevant eftersom för N 2 kan omegac beräknas analytiskt omegac 2 pi 2 Så vi behöver inte nödvändigtvis optimera formel 14 för fallet N 2 om det kommer på bekostnad av approximationen vid större värden av NI optimerade konstanten c i 14 på följande sätt Om omkrets N är de exakta avstängningsfrekvenserna för en given uppsättning filterlängder N har vi ett överdeterminerat system av ekvationer. som vi kan välja någon re asonabel uppsättning värden för N Rearranging 15 ger en annan uppsättning ekvationer, denna tid linjär i det okända c. Den optimala minsta kvadratlösningen av 16 är. där L är antalet olika värden för N som används i summan. Om du använder hela heltalet värden på N i intervallet 2.100 du får. som ligger nära Olli s-värdet men som ger en jämn bättre approximation för alla N ge 3 Jag lade till felvärdena i denna tabellkolumn f. I hans svar undrade Robert varför han måste kasta den andra större positiva lösningen för omegak när man använder en fjärde ordning Taylor-serien för sin 2 x Figuren nedan visar orsaken Den ursprungliga kvadratiska amplitudfunktionen visas i blått för N 10 3DB-raden är röd Den gröna funktionen är Taylor approximation, som korsar den röda linjen två gånger. Dessa är de två positiva lösningarna för omegak Eftersom funktionen är jämn, får vi också samma två lösningar med negativa tecken, vilket gör det fyra, vilket borde vara fallet för ett fjärde ordningens polynom. Det är o bvious att den större av de två positiva lösningarna är en artefakt på grund av avvikelsen av Taylors approximation för större argument. Så det är bara den mindre lösningen som är meningsfull, den andra ger inte ett annat svar eftersom detta tillvägagångssätt är helt annorlunda i känner att jag inte försöker approximera filterets amplitudfunktion för att beräkna en approximation av avstängningsfrekvensen, men jag använder en ren dataförsättningsmetod med tanke på exakta avsnittsfrekvenser, som numeriskt beräknades och vilka också ges för en uppsättning filterlängder i den vänstra kolumnen i den här tabellen. Med dataanpassning är ofta det svåraste problemet att hitta en lämplig parametrering av den approximerande funktionen Eftersom den andra svarar i den här tråden vet vi att. med lämpligt valda konstanter a och c är en överraskande bra approximation för ett brett spektrum av värden på N, och eftersom Wolfram Alpha berättar för oss att Laurent-serien utvidgningen av 1 vid N infty har endast termer med udda krafter på 1 N verkar det rimligt att parametrera avsnittsfrekvensen med en Laurent-serie med udda krafter på 1 N. Vi kan beräkna det exakta värdet av a1 i 2 från kravet att uppskattningshatten c N har noll bias, det vill säga att den konvergerar till den verkliga avstängningsfrekvensen för stor N Detta förklaras i mitt andra svar, dess värde är. De övriga konstanterna i 2 kan beräknas med minsta kvadrater som passar 2 till data, vilka är de Exakta avstängningsfrekvenser Den minsta kvadrerade passningen kan beräknas med följande enkla Matlab Octave-skript under förutsättning att variabeln wc är en vektor med förberäknade exakta avstängningsfrekvenser för önskad uppsättning filterlängder. De resulterande koefficienterna är. börja a3 1 201014809636180 a5 0 768735238011194 a7 0 514237034990353 a9 0 548681885931852 end. with a1 ges av 3 Denna approximation kommer extremt nära de exakta värdena på omegac. Nämnda approximationsfel finns i denna tabellkolumn g.